In this talk, we prove that the stationary Swift-Hohenberg equation has chaotic dynamics on a critical energy level for a large (continuous) range of parameter values. The first step of the method relies on a computer assisted, rigorous, continuation method to prove the existence of a periodic orbit with certain geometric properties. The second step is topological: we use this periodic solution as a skeleton, through which we braid other solutions, thus forcing the existence of infinitely many braided periodic orbits. A semi-conjugacy to a subshift of finite type shows that the dynamics is chaotic.
近年無線通信の分野では，対象領域に安価なセンサーを多数配置し互い に無線通信することで 情報統合を行うセンサーネットワーク研究が盛んに行われている． この講演ではまず始めに，センサーネットワーク研究における位相幾何 学的手法（特にホモロジー群）の有用性を， R.Ghrist(イリノイ大学)による最近の研究成果を中心に紹介す る．その後に，Mayer-Vietoris完全系列を用いて Ghristの成果を”工学的に使用可能”にした我々のちょっとした結果 （荒井，林，平岡）について解説する． なお，様々な分野の方々からのご意見を伺いたいと思っております． よって，非数学者の聴衆も想定し予備知識としては 線形代数のみを仮定します．それ以外に必要になってくる数学的道具に ついては講演中に（できるだけ丁寧に）紹介します．
現在，無線LAN，地上波ディジタルTV，ADSLなどの 高速信号伝送が求められるシステムにおいて， OFDM（直交周波数分割多重）方式に代表されるマルチキャリア伝送方式 が採用されている． これはマルチキャリア伝送方式が，高速信号伝送において最も大きな問 題となる通信路の 周波数選択性フェージングに強い伝送方式であるからである． 本セミナーでは，マルチキャリア伝送方式を離散フーリエ変換及び巡回 行列の性質をうまく利用した ブロック伝送方式の一種と捉えることで，これらについて見通しよく解 説する．
レオンハルト・オイラーは今からちょうど300年前にスイス・ バーゼルに 生まれた「18世紀最大の数学者」である．彼の著名な解析 3部作の第1部 『無限解析入門』には，指数関数，対数関数，三角関数，ゼータ関数 に関係する数値リストが記されている．これらの膨大な数値リストに 触れながら，その計算アルゴリズムを紹介する．また，ゼータ関数 の一般化であるディリクレL関数に関する数値計算についても紹 介する．
卵割には様々なタイプがあることが知られて いる。卵割をマクロな視点から眺めたとき、中心 体の分裂と細胞質の分裂という2つの分裂過程がキーになってい ることがわかる。すなわち、分裂 した中心体の位置が細胞質分裂の様相を決定付け、細胞質分裂の結果と しての場の変化が次の中心 体の分裂の様相を決定するという、2つの分裂過程の対話により 卵割が進行しているとみなすこと ができるだろう。このような過程の記述の第一歩として、中心体の分裂 から細胞質の 分裂が導かれる過程を数理的に記述するモデルを提案する。
In this talk, I will introduce and explain some algorithmic methods for the automated analysis of dynamical systems. The discretization of the dynamics makes it possible to use fast graph algorithms to extract the recurrent and gradient-like dynamics, and to represent the system in terms of a Conley-Morse decomposition. Recently developed algorithms, including the automatic homology computation, provide additional information and make it possible to obtain mathematically meaningful, rigorous results. Moreover, if an n- parameter family of dynamical systems is considered, then using outer approximations of dynamics provides an algorithmic method to prove certain continuation results, as well as to detect possible bifurcations. A nonlinear Leslie population model will be used as a sample discrete dynamical system which illustrates the effectiveness of this approach.
In this talk we are concerned about singular boundary value problems arising in hydrodynamics and cosmology. In the case of spherical simmetry, the orginal partial differential equation may be reduced to a second order ordinary differential equation (ODE). This is the case, for example, of the formation of bubbles or droplets in a mixture gas-liquid. We are interested on solutions of the resulting ODE which are strictly increasing on the positive semi-axis and have finite limits at $0$ and $\infty$ (bubble-type solutions). Necessary and sufficient conditions for the existence of such solutions are obtained in the form of a restriction on the equation coefficients. The asymptotic behavior of certain solutions of this equation is analysed near the two singularities (when $r\rightarrow 0+$ and $r\rightarrow \infty$), where the considered boundary conditions define one-parameter families of solutions. Based on the analytic study, an efficient numerical method is proposed to compute approximately the needed solutions of the above problem. Some results of the numerical experiments are displayed and their physical interpretation is discussed.
レオンハルト・オイラーは今からちょうど300年前にスイス・ バーゼルに 生まれた「18世紀最大の数学者」である．彼の著名な解析 3部作の第1部 『無限解析入門』には，指数関数，対数関数，三角関数，ゼータ関数 に関係する数値リストが記されている．これらの膨大な数値リストに 触れながら，その計算アルゴリズムを紹介する．また，ゼータ関数 の一般化であるディリクレL関数に関する数値計算についても紹 介する．
卵割には様々なタイプがあることが知られて いる。卵割をマクロな視点から眺めたとき、中心 体の分裂と細胞質の分裂という2つの分裂過程がキーになってい ることがわかる。すなわち、分裂 した中心体の位置が細胞質分裂の様相を決定付け、細胞質分裂の結果と しての場の変化が次の中心 体の分裂の様相を決定するという、2つの分裂過程の対話により 卵割が進行しているとみなすこと ができるだろう。このような過程の記述の第一歩として、中心体の分裂 から細胞質の 分裂が導かれる過程を数理的に記述するモデルを提案する。
In this talk, I will introduce and explain some algorithmic methods for the automated analysis of dynamical systems. The discretization of the dynamics makes it possible to use fast graph algorithms to extract the recurrent and gradient-like dynamics, and to represent the system in terms of a Conley-Morse decomposition. Recently developed algorithms, including the automatic homology computation, provide additional information and make it possible to obtain mathematically meaningful, rigorous results. Moreover, if an n- parameter family of dynamical systems is considered, then using outer approximations of dynamics provides an algorithmic method to prove certain continuation results, as well as to detect possible bifurcations. A nonlinear Leslie population model will be used as a sample discrete dynamical system which illustrates the effectiveness of this approach.
In this talk we are concerned about singular boundary value problems arising in hydrodynamics and cosmology. In the case of spherical simmetry, the orginal partial differential equation may be reduced to a second order ordinary differential equation (ODE). This is the case, for example, of the formation of bubbles or droplets in a mixture gas-liquid. We are interested on solutions of the resulting ODE which are strictly increasing on the positive semi-axis and have finite limits at $0$ and $\infty$ (bubble-type solutions). Necessary and sufficient conditions for the existence of such solutions are obtained in the form of a restriction on the equation coefficients. The asymptotic behavior of certain solutions of this equation is analysed near the two singularities (when $r\rightarrow 0+$ and $r\rightarrow \infty$), where the considered boundary conditions define one-parameter families of solutions. Based on the analytic study, an efficient numerical method is proposed to compute approximately the needed solutions of the above problem. Some results of the numerical experiments are displayed and their physical interpretation is discussed.